“雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双傍地走，安能辨我是雄雌？”出自《木兰诗》，意思是“雄兔的脚喜欢扑腾，雌兔的眼老是眯缝着，如果它们一起跑，又有谁能辨清它是雄还是雌呢？”，现在多用于指事情重杂，而“任意”与“存在”好象雄兔与雌兔，在题中让大多学生“傻傻分不清”，从而束手无策。函数中的任意性与存在性问题，是函数、方程、不等式等内容交汇处的一个十分活跃的知识点，也是高考的热点题型，这类问题常与导数工具的灵活应用相结合，同时与数形结合、分类讨论等数学思想紧密联系，使题型更加多变，因此常受到高考命题者的青眯，这类题型常有以下三种情形：一是单函数、单变量中的任意与存在性问题；二是双函数、双变量中的任意性与存在性问题（存在存在型、任意任意型）；三是双函数双变量中的任意存在问题（任意存在型）
一. 单函数、单变量中的任意与存在性问题
此类解题过程中常有如下结论：
结论1：若对任意 ，不等式 在区间A上恒成立，则只需
结论2：若对任意 ，不等式 在区间A上恒成立，则只需
结论3：若存在 ，不等式 在区间A上有解，则只需
结论4：若存在 ，不等式 在区间A上有解，则只需
结论5：若存在 ，等式 在区间A上有解，则只需
以上的结论的获得可以借助生活例子引入（实验方法）或借助函数的图象（数形结合思想）
方法一：借助生活例子引入（实验方法）
例如对于结论1，我们可以用甲班的数学成绩打比方：有个人比甲班的任何一个学生成绩都要高，这个人的数学成绩需要满足什么条件？答案这个人的数学成绩应是高于甲班分数最高的（即大于最大值）
例如对于结论3，我们同样也同以用甲班的数学成绩打比方，有个人比甲班的某个学生成绩高，这个人的数学成绩需要满足什么条件？答案是这个人的数学成绩高于甲班分数最低的（即大于最小值）
例如对于结论5，我们同样也同以用甲班的数学成绩打比方，有个人比甲班的某个学生成绩一样高，这个人的数学成绩需要满足什么条件？答案应是为这人的数学成绩介于最低分和最高分之间，即落在甲班学生成绩构成的值域内
方法二：借助函数的图象（数形结合思想）
例如对于结论1，若对任意 ，不等式 在区间A
上恒成立，则只需在区间A上函数y=a的图象始终在y=F(x)的
图象上方，如图，则只需
结论3：若存在 ，不等式 在区间A上有解，则只需
在区间A上存在x，满足函数y=a的图象在y=F(x)的图象上方，所以只需
二、双函数、双变量中的任意性与存在性问题（存在存在型、任意任意型）
结论6：若对任意的 ，任意 ，不等式 恒成立，则只需
结论7：若对任意的 ，任意 ，不等式 恒成立，则只需
结论8：若存在 ，存在 ，不等式 有解，则只需
结论9：若存在 ，存在 ，等式 有解，则只需
结论10：若存在 ，存在 ，等式 有解，则只需
方法一：借助生活例子引入（实验方法）
例如对于结论6，我们可以用甲班和乙班的数学成绩打比方：甲班的任何一个学生成绩要高于乙班的任何一个学生成绩，那么甲班和乙班的学生成绩需要满足什么条件？答案甲班的最低的分数高于乙班的的最高分数；
例如对于结论8，要在甲班中找一个学生的成绩高于乙班的某个学生成绩，那么甲班和乙班的学生成绩需要满足什么条件？答案是甲班的最高分高于甲班的最低分。
例如对于结论10，要在甲班中找一个同学的成绩和乙班的某个学生成绩一样高（相同），那么学生数学成绩需要满足什么条件？答案甲班和乙班学生的成绩表中至少有一个相同的分数，用集合的语言理解，即两个班的成绩要有公共元素。
方法二：借助单函数、单变量中的任意与存在性问题
例如对于结论8：设变量a满足 ，即 ，由结论3知有 ，即只需
例如对于结论10，设变量a满足 ，即 ，由结论5知有， ，两个方程 ， 同时有解，说明两值域的交集非空，即只需
方法三：借助函数的图象（数形结合思想）
例如对于结论8：不等式 有解，只需存在 ，
存在 ，使得点 在点 的图象上方，
所以只需
三、双函数、双变量中的任意性与存在性混合型问题（任意存在型）
结论11：若对任意的 ，存在 ，不等式 成立，则只需
结论12：若对任意的 ，存在 ，不等式 恒成立，则只需 结论13：若对任意的 ，存在 ，不等式 成立，则只需
同样地，借助单函数、单变量中的任意与存在性问题考虑结论11：
设变量a满足 ，即 ，由结论1和3有 ，即只需
对于结论13，设变量a满足 ，即 ，由结论5知有
，则对任意的 ， ，即
也要可以借助生活例子考虑结论13，我们可以用甲班和乙班的数学成绩打比方：对于甲班的任一学生的成绩，乙班都有学生的成绩与之对应相等，那么学生数学成绩需要满足什么条件？用集合的语言理解，即两
纵观以上13个结论，实际上都是以前5个为基础的一些变化，同时，对函数中的存在性与任意性问题，若是不等关系则转化为函数的最值问题，若是方程问题则转化为函数值域问题。另外，以上的结论都是在默认函数的最值存在的提下，若给定区间为非闭区间或函数非连续时，其最值可能无法取到，此时须确定其上（或下）界，并考虑等号能否取得。
四、典例剖析
例1. 已知函数 在定义域上单调递增，求m的取值范围.
命题意图：考查含参函数在给定区间上单调递增，即导数非负恒成立问题。
解题要点： 在 恒成立且 不恒为零，所以 ，由最值法知只要 ，易得当 ，即x=1时， ，所以 ，经检验， 合题意，综上，所求m的取值范围是
例2. 已知函数 在【-1，1】存在单调递增区间，求t的取值范围.
命题意图：考查函数在给定区间上存在单调递增区间，即导数大于零有解问题。
解题要点： 在【-1，1】有解，所以 ，由最值法知只要 ，易得当 ， ，所以 .
例3. 已知函数 ， ，设函数 的导函数 ，对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数m的取值范围.
命题意图：考查双函数、双变量中的任意性与存在性混合型问题
解题要点：由 得 ，所以 成立，即 ，即
，对 求导得 在当 处取得最大值， ， ，所以 ，所以 ，故
例4. 已知函数 ， ，若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数a取值范围.
命题意图：考查双函数、双变量中的任意性与存在性混合型问题
解题要点：依题意有 ，又
， ，所以 ，解得
此类问题关键是对“任意”“存在”意义的理解，当然还有很多问题可以等价转化为任意或存在问题去求解，只要我们充分利所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得解决，只有这样才能提高分析问题和解决问题的能力。
参考文献
傅建红 聚焦函数中的任意性与存在性问题 《高中数学教与学》2012.6
