2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛中压轴题以及参考解法给考生留下了晦涩难懂的印象，旧解通过构造“循环和式”，求和，放缩，以此得到题目要求的证明，切入角度与高中生的知识框架不符，步骤繁琐，思路也并不清晰，这也是我们撰写这篇文章的原因。因此本文介绍一种另辟蹊径的新解，即用切比雪夫不等式直接论证代替构造循环和式的“曲线救国”似的论证方法。相较于旧解，新解思路清晰，方法简洁，与高中生课本所学知识密切地联系在一起，是课本知识的延伸，并有着贴切高中学习的独特优势，更加适合广大的高中生学习应用，可加以推广。
一、问题再现
2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛最后一道试题：
给定2014个和为1的非负实数 ， ， ，…， 证明：存在 ， ， ，…， 的一个排列 ， ， ，…， ，满足 。
二、参考答案“循环和式”的求解过程
设和式 为2014个实数 ， ，…， 的“循环和式”。
由于2014个排列： ， ， ，…， ； ， ，…， ， ； ， ，…， ， ， ；…； ， ， ，…， 。对应的“循环和式”是同一个“循环和式”。
因此， ， ， ，…， 的 个排列对应 个“循环和式”。
（说明：“循环和式” 的重复性较难发现，而这也是本题所必需的奠基步骤，从而给考生设置了较高的难度。由于重复出现2014次，因此“循环和式”的个数为 个。同一“循环和式”的甄别，考生很容易忽略，因此易出错。）
记这 个“循环和式”为 ， ， ，…， 。其中 。
设这 个“循环和式”总和为 ，即 。
由于每一个 （ ，2，3，…，2014）在每个“循环和式”中均出现两次，因此，在 中共出现 次。
∴
这里 。
（此处还可从另外两个方面加以解释：其一，在 中 包括所有的可能，因此会出现诸如 和 的情况，而这两种情况所确定的循环和式是完全不一样的；其二，若循环和式中，已确定有 这一项，则其它项由剩余的2012个数所确定的全排列决定，这两点我们将在下文的“难点剖析”中进行详细说明。因此，每个 会出现 次）
另一方面，由 ，
以及柯西不等式： ，
得 ， 。
∴ 。
∴ 。
∴ ， ， ，…， 中至少有一个不大于 。设 ，则“循环和式” 所对应的排列，即为所求。
∴ 存在一个 ， ， ，…， 的排列符合要求。
三、“循环和式”构造法的难点剖析
标准答案的求解，通过构造”循环和式”，将本题所需证明的结论——存在一个关于 ， ， ，…， 的排列 ， ， ，…， ，使得 不大于 的问题，转化为：将所有的循环和式的总和放缩到范围 中 ，最后通过推导、构造与说明，得出最终结论。整套方法步骤繁多，解法晦涩，对于我们高中生来说难度是非常大的。其主要难点以及思维盲区可以从以下几个方面得以体现：
1.答案思路的切入步骤难:对循环和式加以定义，并通过求解所有循环和式的总和，作为整个解题过程的媒介，这种解法在高中比较少见，考生不容易从这里切入，同时“循环和式”要考虑到重复的部分，进而加大了这种解法的难度。
2. 的求解过程，不易理解：
这里 ，对于括号中的求和部分来说，括号中的和涵盖了任意 时 的所有情况，相当于对 提取公共部分后的化简结果，然而 的个数到底是多少并不容易确定，确定其个数的方法有两种：
原解是通过对 的个数进行分析确定的：在 中 共有 个，而循环和式共有 个，由于 中共有2013个 ，所以 。
但是，这样的确定方法步骤繁杂而且环环相扣，极其不易想到，我们可以从另外一个角度来确定 的个数。为了便于理解，我们以 这一项为例作进一步的剖析（其它项的情况是完全一样的，故而不失一般性）：
在所有的循环和式中，若出现 这项，则它后面的2013项必为： , ,…, 这种形式，而 是从 这2012个数中选取的。进而，要确定 这一项在 中到底有多少个，我们只需对 进行全排列即可。因此，出现 的情况，共有 次。同理，出现 的情况也有 次，因此在 中 共出现 次（ ）。
其余的 以此类推，因此”循环和式”的总和为：
无论是哪种确定方式，这一过程理解起来难度都非常高，并且在考试时间极其有限的前提下，这两种确定方式的成本和风险都较大。
综上，标准答案的解法在解决该问题上运用循环和式，又经过求和以及不等式的放缩，才使问题得以解决，期间过程繁琐，切入点过高，对于中学生来说，难度太大，不容易想到。
四、新解法
实际上，可以用更为简洁的解法来求解本题：从题目出发，我们不难看出本题是关于排序不等式的相关证明题，很自然地可以从排序不等式下手，水到渠成地想到运用切比雪夫不等式进行证明。
经过笔者的思考与尝试，发现运用切比雪夫不等式来证明该题，是可行的。而且，本文的新解法在解题步骤上也更为简便，证明过程直截了当，符合考生进行考试时的主要切入方向， 且方法与高中所学内容联系更为紧密，是对所学知识进行灵活运用和拓展延伸，作为一种奥赛考试的解法而言，我们的新解更容易切入，省时省力，易错点少，考生也更容易得分；作为赛后讲解的推荐方法而言，我们的新解也更易被理解吸收，接受和记忆。
首先，回顾一下切比雪夫不等式：
若 则：
我们通俗地将其记为： 。
切比雪夫不等式是高中排序不等式的延伸，与高中所学知识关联紧密，使用更为广泛，因此符合大部分考生的解题思维。
五、具体的求解过程
关键步骤：
运用本文新解法的关键步骤是对 进行排序,使得 ， 且 。
由于该题证明的是存在性，因此本文的排序方式是合理、可行的。
该步骤的目的解析：
我们对 这2014个数进行重新排列，目的在于使用切比雪夫不等式中“倒序组最小”的结论，因此将排序中的奇偶分组，其中 单列（原因将在下面的解法中得以体现）。
剩余步骤：
由此，本文将 作为一组（除首数外，其它为奇数项，而奇数项中， 只出现一次， 均出现两次）；将 作为一组（除首数项外，其它为偶数项，而偶数项中， 均出现两次， 只出现一次）。
因为 ， 。
所以，由切比雪夫不等式可得：
再由基本不等式（ ）得：
六、排序不等式求解法的关键点剖析
相比于原解，新解法切入点低，就题本身考虑如何解答即可，过程简便，思路清晰，不需要过多的综合，考生可以想到。现在，本文来进一步分析一下运用新解法求解该问题的几个关键点：
1. 奠基部分，便是对 这2014个数进行排序。事实上经过本文排序之后的2014个数所组成的“循环和式”，就是满足题设不等式的一组“循环和式”，即证明出了题目所要求的存在性。而对这2014个数进行奇偶分组排序，也是一种在排序不等式中很常见的处理方法。运用常规思路，通过奇偶分类，将 这2014个数分成了两组：
， 且 。
这种处理方法虽然常规，但却是运用本文的新解法求解本题必不可少的关键点，在今后类似题型的题解中也具有一定的借鉴意义。
由切比雪夫不等式倒序组最小的结论，通过上述的奇偶分组的排序方式，从而对“循环和式” 进行放缩，再通过基本不等式将乘积形式转化为相加的形式，由题设条件知这2014个非负实数的和为1，即得 的取值范围。
由此通过放缩取定，即可证明得到存在 ， ， ，…， 的一个排列 ， ， ，…， ，满足 。
2. 题解的最后一个部分，辅以高中生熟知并运用娴熟的基本不等式，容易得出 的结论，即找到了这样的一组排列，比原命题所要求的论证更强。
七、两种方法的比较
本文的新解法较原解解法更加简洁，由切比雪夫不等式直接放缩取定，即可一步到位。
相比之下，原解法是用了高中生较少接触的解法，构造了“循环和式”，再进行“循环和式”的求和，通过和的取值范围再进一步得到所需的原式的取值范围。与新解法相较，就绕了许多本不需要的弯路。
纵观两种解法的整体，不难发现本文的新解的篇幅短小精炼，平实易懂，更贴近高中生的数学思维水平，因此对联赛原题的一题多解以及探究联赛题型的简单解答有着实际的意义。
参考文献：
[1] 杨培谊，于鸿．高中数学解题方法与技巧．北京：北京学院出版社，1993
[2] 竺仕芳，激发兴趣，走出误区———综合高中数学教学探索．宁波教育学院学报，2003
[3] 邓小荣，高中数学的体验教学法．广西师范学院学报，2003 |
