1  绪论

1.1 选题背景

   数学建模是数学作为工具去解决实际问题的必然选择，在这样的意义下，它不是什么新生事物，甚至可以说，古已有之，只是数学建模这一专用术语的出现和普通使用大约只有几十年的历史。在60年代数学建模开始成为研究生教育的内容，并逐步渗透到大学教育中去。80年代，在中学开展了数学建模的研究性学习教学活动，这项活动从一开始就得到专家和许多教师的关注和重视。现在新课程改革强调培养学生的自主探究能力，学生不仅要掌握知识，还要学会对所学知识进行创新实践应用，只有这样，才能使所学的知识更有价值，才能真正体现出知识的实用性。这就要求在研究性学习及创新性课程教学中必须注意培养学生的应用意识和能力。在高中生的学习生涯中，数学建模是培养学生探究性学习能力的一种重要途径。

开学伊始，笔者对南平一中高一学生抽样做了数学建模的问卷调查，在考查学生思维能力、运算能力的同时，着重考查学生运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力，以及阅读理解，检索、整理和处理信息的能力。问卷中共用3道题，这些问题较贴近学生的生活实际，难度适中，能够充分发挥学生的创造能力，得分还是令人满意的：满分60分，平均得分43分。因此，充分发挥好数学建模的教育功能，培养学生认真求实、联系实际的学习态度和学习习惯，培养学生的数学思维、科学态度，激发学生的学习兴趣，提高科技创新能力，在当前的教育模式下是可行的，同时也是当前教育改革的新课题之一。

1.2 研究现状

我国早在20世纪50年代末，诸如华罗庚等数学家开始有意识地向中学生普及解决生活中实际问题的建模思想。80年代左右，在《数学方法论选讲》中，徐利治先生就提到了“建立数学模型”的方法。钱建阔的《浅谈高中生数学建模能力的培养》提出“学生要从数学的角度去思考周围的实际问题,把数学运用到实际生活中去，从而提高学生的数学素质”的思想，但没有给出一个具体的实施方法和步骤。而具体的实施方案，即为我们所需研究的重中之重。

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程”。即在培养学生解决实际问题的能力方面要加强，而数学建模正是为培养学生解决实际问题能力、探究性学习能力提供的一种有效途径。另外，数学建模在中学研究性学习教学中的应用也越来越受教育者的重视。传统的课堂教育以老师讲授为主，在现今的高中教学中，数学建模在研究性学习课堂的的应用正在改变着这一教育方式，并取得了一定的见效。不但调动了学生学习的积极性，还提高学生创新思维等方面的能力。

笔者通过组织与培训，引导学生参加国内外各项数学建模创新性竞赛，取得了良好的成绩，如：在第七届数学中国挑战赛中，我校学子夺得特等奖，荣获5000元奖学基金；在第十六届美国高中生数学建模竞赛中，我校学子也取得了国际一等奖的好成绩等。

1.3 探究方法和内容

本项目通过问卷调查法、个案分析法等方法通过具体的实践探究，主要从研究性学习、科技创新活动以及中学生数学建模竞赛这几个方面出发，介绍具体实施以及实践中的完善过程。

1.4 基本概念

什么是数学建模呢?数学建模是为了解决现实生活中的问题建立数学模型的一个过程，它是解决实际问题的一种数学方法，也是解决问题的第一步。一般来说，数学模型是为了特定的目的根据现实世界的特定对象进行简化、分析、设想，然后运用合适的数学工具建立的一个数学结构。数学建模解决的是一些非常实际的问题，它要求我们把实际问题抽象成数学模型然后加以解决。从数学的角度出发，数学建模实际是对问题做一个数学模拟，将没用的信息排除，保留问题里的数学关系，然后形成某种数学结构。

2  方案的具体实施

2.1 实施对象

南平一中高一年段全体学生。

2.2 实施时间

2013年10月~2014年5月。

2.3 实施内容

研究性学习校本课程、科技创新实践活动、高中生数学建模竞赛等。

3  研究性学习的实施过程

学校面向高一年段的全体学生开设数学的研究性学习校本课程。先通过系统的教学，介绍相关的数学建模知识与方法，激发学生科技创新的意识和兴趣。在对研究性学习有了一定了解，并掌握一定的数学建模基础后，学生每1~6人为一组，进行了研究性学习的课题研究。通过学生小组间的交流讨论，以及最终的成果汇报与反复修改，使得每一个学生都参与其中。学生的项目研究成果有：

《闽江水污染情况的调查与分析》、《中学最优文理分科方案研究——从南平一中高一四班谈起》、《教室课桌椅排布最佳方案》、《数理实验下的黄土高原植被恢复规划》、《人类的寄居蟹就业进化模式》、《从空气中感知数学》、《福建九地市最佳旅游路线初探》、《周五大扫除劳动人员的最佳分配方案浅析》、《股票中的数学》等。

在研究性学习的教学过程中，数学建模思想每每结合具体的实际生活例子切入，把培养学生的应用意识落实到教学过程中，使学生真正掌握数学建模的方法，培养学生的数学建模能力。做到：

    1.以研究性学习课堂教学为平台，培养科技创新能力

在研究性学习课堂教学中想培养数学建模能力不是简单地把实际问题引入，而应根据所学数学知识与实际问题的联系，在研究性学习教学中适时地进行培养。在此过程中，笔者着重把握以下两点：（1）课堂教学中还学生以动手能力；（2）课堂教学中组织适当的讨论。

2.以社会生活性问题为基点，培养科技创新能力

学生的生活圈都比较狭小，只有以贴近他们身边的社会生活性问题为基点，有利于学生的体验与理解、思考与探索。日常生活是问题的源泉之一，许多问题可通过建立数学模型加以解决，如家庭日用电量的计算，住房问题等，都可以用基础数学知识，建立数学模型加以解决。

    3.以相关学科为链接，培养科技创新能力

数学与其他学科是相辅相成的关系，可以通过其他学科知识作为背景链接，拓宽学生的思维，加强学生对数学建模及科技创新能力的培养。

总之，在研究性学习的课堂教学中，教师应以学生为主体，充分引导学生注意观察生活中的各种现象，充分利用各类生活情境，创设合理的课前导入，增强学生数学应用意识，提高学生的创新能力，让学生能充分开拓解题时的思维，会利用合理有效的方法进行数学建模，从而提高学生分析问题和解决问题的科技创新能力。

4  科技创新实践活动的实施过程

在研究性学习活动小组中，《闽江水污染情况的调查与分析》脱颖而出。他们的突出之处，不仅在于其严谨的学术演算过程，更在于这个研究性学习项目的公益性。因此，为了扩大其公益的服务范围，在该项目研究小组的配合下，笔者向校团委申请了研究经费，支持该项目往更深层次的公益性服务发展，开展了以“保护母亲河”为主题的科技创新实践活动。

4.1 闽江水污染情况的调查与分析的前期工作

在该科技创新实践活动中，学生们的前期准备工作如下：

（1）自学数学软件Matlab、SPSS的应用。

（2）前往来舟、夏道等地实践调查。

（3）前往水文局、水资源勘测局、水利局、环保局等部门咨询、收集材料。

（4）进入福建环保厅、南平环保局等网站查询相关文献与资料。

（5）开展“以保护母亲河”为主题的全校性环保宣传倡议。

（6）进行闽江水污染情况的网上民意调查。

（7）出版团属刊物《环保专刊》，并报送市团委，进行全市范围环保的推广与宣传。

4.2 闽江水污染情况的调查与分析的实地调查

2014年1月4日，该科技教育实践活动小组前往南平市夏道村等实地考察取样。走访了这些工农业发展比较迅速的地方，并结合相关资料，实地调查结果分析如下：

（1）畜禽养殖污染

    从所走访之处来看，多数的养殖场，像鸡、鸭、牛等养殖场，直接建在沿江两岸，对于粪便的处理大多采用水冲式，很少采用“干湿分离”，如此形成大量的粪污，排入河流中，将形成面源式污染。除了较大型养猪场具沼气工程处理能力外，绝大部分的粪便还是以直接还田、进鱼塘等传统方式处置。同时粪便污染除了影响地表水质，对地下水的影响也是相当严重的。故畜禽养殖的污染是闽江流域污染的重要组成部分，要治理闽江的水质污染，处理畜禽养殖污染是必须先行的一步。

（2）工厂污水污染

走访过程中发现污染仅次于畜禽养殖业的是工业污水的污染。大多数闽江沿岸主要以小型工业为主，这些工厂对生产污水基本上不做处理，大都是直接排到附近的水体中，然后再扩散到闽江的其他水系。             

(3) 生活污水与垃圾污染

在走访过程中，学生发现，这几个地方的日常生活产生的洗涤污水等未经处理，直接排放到附近的水体中。事实上，这种污水中的细菌、病毒、化学物质会严重污染水体，间接危害到人体的健康。闽江流域农村地区居住分散，在污染过程中具有面源污染的特征。这也将使得水体中的氮磷含量增加。

     另外学生在实地调查的过程中也发现到，由于大量生活垃圾，如农作物秸秆、蔬菜烂叶等额随意堆置，未能进行集中处理，在降水冲刷下进入闽江，从而对水质造成污染。

4.3 走访调查与水质的对比

    市民对闽江水况表示不满。闽江上游沿岸许多工厂随意漏排污水，严重污染闽江水质,许多单位污水直排闽江。

市民对闽江水况表示不满

闽江上游沿岸许多工厂随意漏排污水，严重污染闽江水质

                       许多单位污水直排闽江

水质对比：

通过水质的对比，学生们不难发现，闽江水质呈酸性，且较为浑浊，水质污染现状，令人堪忧！

4.4 网上问卷调查

学生们通过网络投票等方式对闽江的水污染状况进行民意调查。调查结果不容乐观！下图是调查结果。   

 网上问卷调查结果

根据实地调查结果及网上问卷调查情况，学生不约而同地提出了以下几点建议：

（1） 依法治水，对各种破坏水资源的违法行为予以法律制裁；

（2） 完善污水处理设施，对不达标排放的工厂进行责令停业整顿；

（3） 加大舆论宣传力度，提高人们植树造林的意识，保持水土改善环境，净化河水；

（4） 作为高中生，应该树立珍惜和保护水资源的意识。

4.5 建立数学模型，分析水污染情况

学生运用收集到的数据，通过建立数学模型对闽江水污染的情况进行了分析，得到如下结论：

（1）通过因子分析模型，确定了闽江的主要污染源为：水土流失及生活污水污染、农业污染、工业污染、畜禽养殖污染。

（2）通过函数的拟合，确定了闽江南平段，最佳治污时间是从第43周开始治理，即从十月底开始要加大闽江水污染治理的力度。

（3）通过建立BP神经网络模型，确定了闽江全年水质综合评价的结果为：Ⅱ类至Ⅲ类之间。闽江作为福建省该流域的母亲河，在多处被用为自来水厂的取水源。在自来水厂取水点的临近水域，闽江水质需保持在Ⅱ类左右，故而闽江水质存在着污染，需要加大水污染的治理力度。

4.6 组织，开展环保活动

学生们将科技教育实践活动的成果，进行了全校性的环保宣传，活动效果良好，不少同学积极参与，唤起了他们的环保意识。

同时，将成果汇编成环保专刊，报送团市委：

5  高中生数学建模科技创新竞赛的实施过程

在进行相关数学建模创新竞赛的前夕，我们会模拟一些有关生活背景的情景导入并通过这些实际问题，让学生领悟到是怎样发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的整个思维过程，反复渗透“数学建模”的思想。通过把实际问题转化为数学符号、关系来解决，我们将数学建模这类创新性竞赛的解决实际问题的步骤简化如下：①把实际问题进行抽象、简化分析；②建立数学模型；③求解数学模型；④把模型的解代到实际问题中去检验是否符合，若符合即获得实际问题的解。否则，返回①修改数学模型。

许多实际问题需要通过数学建模加以解决。由于数学模型的灵活性与多样性，充分展现了学生的科技创新能力。通过组织与培训，学生参加的数模创新竞赛，大致由如下两大赛事组成：

5.1 第7届数模挑战赛勇夺特等奖，喜获奖学金5000元

为了进一步贯彻科技创新意识，争强学生的创新能力，以期学生能够灵活地运用数学建模的方法来解决实际生活中的问题。我组织学生参加了第7届数学中国数学建模挑战赛。并在这场竞赛中，收获了特等奖两项、一等奖三项、二等奖一项，其中一队特等奖参赛队，顺利通过答辩，获得了5000元的奖学基金。

在该创新实践竞赛中，我校获得奖学金的获奖队伍，所解决的是“幼儿园户外活动，教师监控的调度问题”。他们在综合考虑老师与孩子人数、老师监管范围以及老师、孩子运动能力的前提下，确定了老师分配的最优方案：

对于孩子的空间分布，根据儿童的运动范围相对集中且呈扩散式的特点，运用正态分布模型对孩子半小时内的运动及分布进行了预测，推算出，孩子的分布应呈以中心为圆心的同心圆分布，且在任意一条直径上呈正态分布。（如下图）

对于老师视角的安排，结合边缘长短，教师人数多少，依据安全系数高低和面积大小的关系，对非巡视教师的空间分布进行了合理的调度。最后运用TSP最短路问题的思想建立数学模型，对巡视教师的巡视路线进行了规划，进而确定了老师位置合理分配的最优方案。

对于模型的评价，通过比较安全系数，对转头、走动教师的位置进行了合理分配。同时为了保证关键点的安全，安排了巡视老师。最后，通过电脑程序，设计模拟仿真实验，对该问题进行了实验模拟。实例表明，该获奖作品所建立的模型能很好地解决调度问题，评委反馈效果良好。

5.2 第16届美国高中生数学建模竞赛，荣获国际一等奖

我们还组织了学生参加了第16届美国高中生数学建模竞赛，并取得了Meritorious（国际一等奖）的好成绩。

5.3 竞赛的参赛过程

在竞赛过程中，学生们通过队员间的自由讨论与创新尝试，自主地完成每场竞赛。在竞赛的过程中，队员以外的任何人员（包括指导教师）都是禁止参与的，每一套解决方案，都是通过三个队员的共同努力所得：

6  在高中进行数学建模与科技创新教育应注意的问题

6.1 数学建模与科技创新教育

一个较为成功的数学建模与科技创新教育一般分为三个阶段：

第一阶段：教师在教学过程中应用生活情境导入，引起学生进行科技创新的兴趣。有很多学生都会想学习数学在创新实践中到底有什么用？其实，在研究性学习的课堂里可以用数学建模的方法来解决实际问题，这种做法不仅仅培养了学生的科技创新能力，同时还能激发了学生学习数学的兴趣。在教学过程中，如果教师激发了学生学习与创新的兴趣，就能调动学生自主研究的积极性，才能更好的提高学生的创新能力，这同时也可以改变在科技创新活动中“生搬硬套”的模仿模式。

第二阶段：老师引导学生探索数学模型，解决实际问题。在上个阶段我们提出了一些问题情境，而如何解决这些问题情境是这个阶段需要学习的。在课堂上尊重学生的思想方法，我们可以必须用一定量的课堂时间，让学生进行自主讨论。学生的良好创新思维绝不会自然产生，它建立在师生间平等、尊重的基础上，教师要给学生以心理安全感，尊重每一个学生，让学生提出自己独到的见解，然后再由老师引导学生分析和设计数学模型。在该阶段，注重的不是运用特定的知识，而是开拓学生的科技创新思维，懂得运用合理模型来解决实际问题。

    第三阶段：师生共同讨论并研究该类模型的拓展。在这个阶段老师应逐步引导学生去发现生活中存在相似的实际问题可以应用该类模型，让学生体会到数学模型在科技创新中的实用性，会应用数学解决实际问题，这有助于培养学生的自信心。在研究性学习课堂教学的过程中，教师需要通过引入各种实例来介绍多种不同的数学模型。其实在能保证一节研究性学习课的教学量上，教学生学会将数学知识运用到科技创新实践中，并且在实际生活中发现问题并进行创新实践并不是一件简单的事，而数学建模可以有力的解决这一问题。

6.2应注意的问题

    面对还未完善的教学体系，笔者认为在高中数学建模与科技创新教育中需要注意以下几点：

1、每一个数学模型在现实生活中都有其原型，在研究性学习的教学过程中，教师应尽量将比较恰当的原型向学生展现出来，然后带领学生观察、分析，这样学生不仅可以学到知识，并能体会到科技创新的乐趣，从而更能激发学生进行科技创新实践的兴趣。

2、学生是科技创新实践的主体，在数学建模过程中更应该把握好学生的主体地位。因为每个人的思维方式不同，所以建造的模型也可能不同，教师应尊重每一个学生，让学生提出自己独到的见解，教师可以在学生需要的时候给予提示和引导。只有靠自己的努力构建的模型才能有更好的提高和发展。

3、数学模型的构建尽量避免超出学生所掌握的知识体系。选题必须要结合研究性学习课堂的教学内容，否则会造成学生不仅学不到知识，还可能打击学生的上进心。用数学建模来解决实际问题，也可以在物理等其他学科方面选择题材。

4、培养学生科技创新的兴趣，教师可以从学生感兴趣的题材入手，然后通过变换、延伸等方法提出更深层的问题，这样形成逐渐深入的知识链，从而让学生不仅拓展了思维，而且还可以发现创新的魅力，进而通过数学建模，激发学生科技创新实践的主观能动性、培养学生的广泛兴趣等。

总之，高中数学建模与科技创新教育引导学生学会用数学方法进行科技创新实践，让学生体会到学以致用的乐趣，从而提高学生创新的积极性。数学建模与科技创新教育的进行还可以发散学生思维，拓展学生的知识面。在高中为了更好地实施数学建模与科技创新教育，要求我们在生活中首先应该具有较好的问题发现意识，同时需要不断地提升自己的能力，了解最新的数学建模理念，能够准确的把握创新项目的可行性，这样才能使数学建模与科技创新实践有更好的发展。

培养学生的建模与科技创新能力是主要是增强他们对各方面能力的综合应用，如文字理解能力方面，对实际问题的熟悉程度方面，对相关知识的掌握程度方面，以及良好的心理素质，和创新精神等方面---“创新是一个民族兴旺的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力（江泽民语）。”因此，我们在研究性学习的教学中要注重培养学生的创新精神，密切关注现代科学技术的发展，使科技创新与高技术密切结合，溶入当代科学发展的主流。

参 考 文 献

[1] 张思明．中学数学建模教学的实践与探索[M]．北京:北京教育出版社，1998:10～11．

[2] 张思明．中学数学建模教学的实践与探索[M]．北京:北京教育出版社，1998:146～151．

[3] 叶其孝．中学数学建模[M]．湖南:湖南教育出版社，1999:9～13．

[4] 冯永明．中学数学建模的教学构想与实践[J]．数学通讯，2000，35(10)：14～15．

附录：

问卷调查

测试要求学生在45分钟内完成三道数学建模题，每题满分为20分，要求学生在解答过程中，无论用什么方法解答，无论解答对否，均要写下解题过程或思考过程。

1、测试题

(1)某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去旅游，甲旅行社说:“如果校长买全价票一张，则其余学生可享受半价优待”，乙旅行社说:“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”（即按全票价的60%收费），若全票价为240元，

①设学生数为x，甲旅行社收费为y_甲，乙旅行社收费为y_乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；

②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?

③就学生数x讨论哪一家旅行社更优惠?

（2）某边防站接到情报，近海有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部队迅速派出快艇B追赶，在追赶过程中，设快艇B相对于海岸的距离为y₁（海里），可疑船只A相对于海岸的距离为y₂(海里)，追赶时间为t(min)，图中l_a、l_b分别表示y₂、y₁与t之间的关系。结合图像回答下列问题：                                                

①请你根据图中标注的数据，分别求出y1、y2与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

②15min内B能否追上A?说明理由；

③已知当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查。照此速度计算,B能否在A逃入公海前将其拦截?

（3）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

①设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

②若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600,说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；

③如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议。

2.测试结果

从整体上看，测试成绩较好。相比较之，第三题得分率较低,具体成绩如下：

表一  测试成绩总分统计表

表二测试题目得分情况表

表三测试成绩结果统计表